Bases mathématiques-Ensembles et applications- niveau MPSI
Bases mathématiques-Ensembles et applications- niveau MPSI
Ensembles et applications
Égalité, inclusion
On suppose connue la relation d’appartenance $\in$ et on réécrit les définitions élémentaires.
Définition
– Un ensemble $F$ est inclus dans l’ensemble $E$ si
$$
\forall x \in F, \quad x \in E .
$$
On note alors $F \subset E$ et on dit que $F$ est une partie de $E$. L’ensemble des parties de $E$ est noté $\mathscr{P}(E)$.
– Si $F \subset E$, alors le complémentaire de $F$ dans $E$ est l’ensemble $\bar{F}$ défini par
$$
\forall x \in E, \quad x \in \bar{F} \Leftrightarrow x \notin F .
$$
Sur la figure ci-dessous, le complémentaire de $F$ correspond à la zone grisée.
Conseils méthodologiques
Ces définitions indiquent directement les méthodes correspondantes de démonstration.
– Pour établir l’inclusion $F \subset E$, on part d’un élément quelconque de $F$ et on montre qu’il est dans $E$.
– Pour établir l’égalité entre ensembles $F$ et $G$, il suffit de montrer séparément les deux inclusions $F \subset G$ et $G \subset F$.
Exemple
Les parties de $\{0,1\}$ sont l’ensemble vide, les deux singletons et la partie à deux éléments. Ainsi, l’ensemble des parties de $\{0,1\}$ est $\mathscr{P}(\{0,1\})=\{\varnothing,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$.
Exemple
L’ensemble des suites convergeant vers 0 est une partie de l’ensemble des suites réelles.
Exemple
Soit deux entiers $a$ et $b$. L’ensemble $a \mathbb{Z}$ des multiples de $a$ est inclus dans l’ensemble $b \mathbb{Z}$ des multiples de $b$ si, et seulement si, $a$ est un multiple de $b$.
En effet, pour le sens direct, remarquons que $a \in b \mathbb{Z}$ donc $a$ est un multiple de $b$. Réciproquement, si $a$ est un multiple de $b$, alors tout multiple de $a$ est un multiple de $b$.
Définition
Le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$ est l’ensemble $E \times F$ des couples formés d’un élément de $E$ puis d’un élément de $F$, c’est-à-dire : $\{(x, y), x \in E, y \in F\}$.
Si $E=F$, on note $E^2=E \times E$.
Remarque
Le produit cartésien $E \times F$ est un ensemble de couples d’éléments donc, en particulier, ne contient ni $E$ ni $F$.
On peut définir de même le produit de $n$ ensembles comme l’ensemble des $n$-uplets dont les différentes coordonnées appartiennent aux ensembles de départ. La définition de $E^n$ pour tout $n \in \mathbb{N} \backslash\{0\}$ est donc
Définition
Une application d’un ensemble $E$ dans un ensemble $F$ est un ensemble de couples $G \subset E \times F$ tel que, pour tout $x \in E$, il existe un unique $y \in F$ vérifiant $(x, y) \in G$. L’ensemble des applications de $E$ dans $F$ est noté $F^E$ ou $\mathscr{F}(E, F)$.
Cette définition est assez peu maniable. Aussi note-t-on souvent $f(x)$, l’unique $y \in F$ tel que $(x, y) \in G$ et on adopte la notation plus simple pour une application
$$
f:\left\{\begin{array}{rlc}
E & \rightarrow & F \\
x & \mapsto & f(x) .
\end{array}\right.
$$
Remarque
Pour montrer qu’un objet est bien une application, il faut démontrer que chaque élément de l’ensemble de départ est associé à un unique élément de l’ensemble d’arrivée. Par exemple, ce qui suit ne définit pas une application
$$
n \mapsto \begin{cases}0 & \text { si } 2 \text { divise } n, \\ 1 & \text { si } 3 \text { divise } n, \\ 2 & \text { sinon. }\end{cases}
$$
car l’élément $n=6$ serait «envoyé» sur deux valeurs distinctes 0 ou 1 dans l’ensemble d’arrivée selon que l’on considère que 2 divise 6 ou que 3 divise 6 .
Conseils méthodologiques
Pour vérifier qu’une application est définie « par morceaux», il faut vérifier que dans l’intersection de plusieurs cas, les différentes définitions coïncident.
Définition
Soit $f: E \rightarrow F$ une application et $E^{\prime}$ une partie de $E$. La restriction de $f$ à $E^{\prime}$ est l’application
$$
f_{\mid E^{\prime}}:\left\{\begin{array}{rlr}
E^{\prime} & \rightarrow & F \\
x & \mapsto f(x) .
\end{array}\right.
$$
On définit de même, lorsque cela est possible (c’est-à-dire quand, pour tout $x \in E, f(x) \in F^{\prime}$ ), la corestriction $f^{\mid F^{\prime}}: E \rightarrow F^{\prime}$ d’une application $f: E \rightarrow F$ à une partie $F^{\prime}$ de l’ensemble d’arrivée.
Définition
Soit $f: E \rightarrow F$ et $g: F \rightarrow G$ deux applications. La composée $g \circ f$ est l’application de $E$ dans $G$ qui associe, à tout $x \in E$, l’élément $g(f(x)) \in G$.
On vérifie rapidement les propriétés suivantes.
Proposition
Soit $f, g$ et $h \in E^E$. Alors,
$$
f \circ(g \circ h)=(f \circ g) \circ h, \quad f \circ I d_E=I d_E \circ f=f .
$$
Remarque
En général, on ne peut pas permuter les applications, ou en d’autres termes, la composition n’est pas commutative : par exemple, avec $f: x \mapsto 2 x$ et $g: x \mapsto x+1$, on observe pour tout $x \in \mathbb{R}$ que
$$
f \circ g(x)=2 x+2 \neq 2 x+1=g \circ f(x) .
$$
