Avant-propos
Partis pris de rédaction
Voici quelques-unes des contraintes qui ont guidé la rédaction de ce tout-en-un.
Respecter l’esprit du programme en particulier la progression lorsque celle-ci est annoncée. Il ne s’agit pas de se limiter strictement au contenu explicitement mentionné dans le programme mais de fournir les moyens de comprendre en profondeur les notions mises en œuvre.
Ajouter une grande variété d’exemples : l’importance des exemples est trop souvent sous-estimée; ils permettent de voir les propositions et théorèmes en action. Pour les lecteurs, les exemples sont les premiers « exercices corrigés ».
Illustrer les résultats avec des schémas et dessins explicites. Ces représentations nourrissent l’intuition.
Structurer les chapitres pour faciliter l’assimilation et mettre en évidence les articulations logiques.
L’organisation tient compte des attentes des lecteurs : certains chapitres ont été scindés pour améliorer la lecture en parallèle d’un cours en classe.
Proposer des exercices et problèmes de difficultés variées permettant à chaque lecteur de progresser quelque soit son aisance initiale.
Recommandations aux lecteurs
Si ce livre est construit pour être utile, sa seule possession ne garantit en rien la réussite. Une étudiante ou un étudiant doit aussi apprendre à l’exploiter efficacement.
Lire le cours sans passer les démonstrations ou les exemples; au besoin, refaire un calcul ou un schéma sur un brouillon. J’approuve le mathématicien Paul Halmos qui explique « Don’t just read it; fight it!»
• Retenir les énoncés et l’importance de chaque hypothèse; pour cela on peut notamment utiliser les questionnaires de type Vrai/Faux (à la fin du cours de chaque chapitre).
Faire une fiche de synthèse (celles proposées dans ce livre sont purement indicatives et devraient en théorie servir de « vérification » après le travail personnel de synthèse) en faisant apparaître les points de cours importants, leurs articulations voire des méthodes de calcul ou de résolution.
S’attaquer aux exercices avec ténacité et ne pas lire la correction proposée sans s’être posé les trois questions suivantes : quels sont les points de cours concernés? quels sont les énoncés proches que je connais? pourquoi mes tentatives n’aboutissent pas?
Travailler un problème dans la durée en appréciant bien les enchaînements de questions, la logique interne à l’énoncé. A la demande des lecteurs, j’ai ajouté des problèmes de niveau variable mais demandant toujours un investissement dans la durée.
Remerciements
Même si un seul nom figure sur la couverture de cet ouvrage, il ne faudrait pas oublier qu’un livre est toujours le fruit de nombreuses rencontres, d’échanges et de critiques. Merci aux étudiantes et étudiants, aux collègues des lycées Louis-le-Grand et Saint-Louis, aux lecteurs et à tous les amis qui m’ont permis de transformer mes premiers essais en cet ouvrage qui, je l’espère, vous conviendra.
Chapitre 1
Bases mathématiques
- Écritures mathématiques
- Ensembles et applications
- Opérations entre parties
- Ensembles ordonnés –
- L’ensemble des entiers naturels
Objectifs et compétences du programme
- Comprendre et savoir utiliser les notations d’un énoncé mathématique.
- Connaître les méthodes usuelles de raisonnement.
- Appréhender les manipulations entre ensembles, entre parties.
- Maîtriser les propriétés des applications.
- Rédiger un raisonnement par récurrence.
COURS
Cet important chapitre rassemble un certain nombre de concepts et de méthodes utiles tout au long de l’année. On y aborde notamment tout le vocabulaire autour des manipulations ensemblistes et des applications qui est rapidement nécessaire pour rédiger avec rigueur. Même si leur étude est moins urgente, les notions de relation d’équivalence et de relation d’ordre permettent de mettre en pratique les concepts précédemment évoqués.
La lecture linéaire de ce chapitre peut s’avérer difficile pour le lecteur débutant; aussi, celui-ci pourra s’y reporter avec profit chapitre après chapitre.
Écritures mathématiques
Quelques définitions pour la suite
Commençons par donner quelques définitions mathématiques qui seront utiles pour illustrer les concepts suivants.
Définition
Soit deux entiers $n$ et $p$. L’entier $n$ est un multiple de $p$, ou de manière équivalente $p$ est un diviseur de $n$, s’il existe un entier $k$ tel que $n=k p$.
Exemple
Les diviseurs de l’entier $12$ sont $-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6$ et $12$.
Définition
Une suite réelle $\left(u_n\right)_n$ admet le réel $\ell$ pour limite si, pour tout écart $\varepsilon>0$, les termes de la suite $\left(u_n\right)_n$ sont à partir d’un certain rang à une distance inférieure à $\varepsilon$ de $\ell$.
Une suite réelle $\left(u_n\right)_n$ est convergente s’il existe un réel $\ell$ qui est limite de cette suite.
Exemple
La suite $\left(u_n\right)_n$ définie, pour tout $n \in \mathbb{N}$, par $u_n=1-e^{-n}$ admet $\ell=1$ pour limite. En effet, l’écart entre $u_n$ et $\ell$ est $e^{-n}$ qui est plus petit que $\varepsilon$ dès que $n$ dépasse $-\ln (\varepsilon)$.
Cette dernière définition est plus facile à comprendre si l’on adopte une représentation graphique pour les suites. Représentons chaque terme de la suite avec en abscisses son indice et en ordonnées sa valeur (donc chaque point admet des coordonnées de la forme $\left(n, u_n\right)$ pour un certain entier $n$ ).
Avec cette convention, la définition se représente alors de la façon suivante : la zone grisée indique les valeurs dont l’écart à $\ell$ est inférieur à $\varepsilon$ et on observe qu’à partir d’un certain rang, les valeurs de la suite s’y trouvent.
