Bases mathématiques-Opérations-entre-ensembles-Partitions-MPSI
Partitions
Définition
Bases mathématiques-Opérations-entre-ensembles-Partitions-MPSI
Une famille $\left(F_i\right)_{i \in I}$ de parties de $E$ est une partition de $E$ si
– Aucune partie n’est vide
$$
\forall i \in I, \quad F_i \neq \varnothing .
$$
– Deux parties distinctes sont disjointes
$$
\forall(i, j) \in I^2, \quad i \neq j \Rightarrow F_i \cap F_j=\varnothing .
$$
– La réunion est égale à $E$
$$
\cup_{i \in I} F_i=E .
$$
Exemple
La famille $\left(\left[n, n+1[)_{n \in \mathbb{Z}}\right.\right.$ est une partition de $\mathbb{R}$ : les parties sont non vides, disjointes et de réunion $\mathbb{R}$. Il s’agit de partitionner l’ensemble des réels selon leur partie entière.
Exemple
Les parties $2 \mathbb{Z}$ et $\{2 k+1, k \in \mathbb{Z}\}$ forment une partition de $\mathbb{Z}$ (selon la parité).
En fait, ces exemples relèvent d’un cadre plus général que nous détaillons maintenant.
Définition
Une relation d’équivalence sur un ensemble $E$ est une relation binaire $\sim$ qui vérifie les propriétés suivantes:
– est réflexive, c’est-à-dire, tout élément $x \in E$ est en relation avec lui-même pour :
$$
\forall x \in E, \quad x \sim x .
$$
– est symétrique, c’est-à-dire pour tous les éléments $x$ et $y \in E$ tels que $x$ est en relation avec $y$, on a aussi $y$ en relation avec $x$
$$
\forall x, y \in E, \quad x \sim y \quad \Leftrightarrow \quad y \sim x .
$$
– est transitive, c’est-à-dire pour tous les éléments $x, y$ et $z \in E$ tels que $x$ est en relation avec $y$ et $y$ est en relation avec $z$, on a aussi $x$ en relation avec $z$
$$
\forall x, y, z \in E, \quad x \sim y \text { et } y \sim z \quad \Rightarrow \quad x \sim z .
$$
Deux éléments en relation sont dits équivalents. La classe d’équivalence d’un élément $x$ pour la relation $\sim$ est l’ensemble des éléments de $E$ équivalents à $x$ pour $\sim$, à savoir
$$
\{y \in E, y \sim x\} .
$$
Exemple
Congruence sur les entiers
Soit $p \in \mathbb{N} \backslash\{0\}$. Deux entiers $m$ et $n$ sont congruents modulo $p$ si $p$ divise $m-n$. On note alors $m \equiv n[p]$ ou plus simplement $m=n[p]$ en gardant à l’esprit que ce signe d’égalité n’est pas une véritable égalité.
On vérifie immédiatement que la congruence modulo $p$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{Z}$ et que la classe d’équivalence de $a$ est
$$
\{a+b p, b \in \mathbb{Z}\}
$$
Généralisons l’exemple précédent aux réels (où, rappelons-le, la notion de divisibilité est peu pertinente puisque tout réel non nul divise tous les réels).
Exemple
Deux réels $x$ et $y$ sont congruents modulo $2 \pi$ si la différence $x-y$ est un multiple entier de $2 \pi$. On définit ainsi une relation d’équivalence sur $\mathbb{R}$ (le choix de $2 \pi$ correspond à une utilisation courante pour les fonctions trigonométriques, on peut bien évidemment choisir n’importe quel autre réel non nul).
Proposition
Soit une relation d’équivalence sur un ensemble $E$. Les classes d’équivalence pour $\sim$ forment une partition de $E$.
Démonstration
Il est clair qu’une classe d’équivalence est non vide et que $E$ est inclus dans la réunion des classes d’équivalence (car chaque élément est inclus dans sa propre classe d’équivalence). Montrons que deux classes d’équivalence distinctes sont disjointes. Pour cela, considérons $x$ et $y \in E$ tels que les classes d’équivalence de $x$ et $y$ ne soient pas disjointes et $z \in E$ à la fois équivalent à $x$ et $y$. Alors, par transitivité, la classe de $x$ est la classe de $z$; de même, la classe de $y$ est la classe de $z$. Ainsi, les classes de $x$ et de $y$ sont égales.
