Bases mathématiques-Opérations-entre-parties, Lois de composition interne-MPSI

Lois de composition interne

Définition

Bases mathématiques ,Opérations entre parties

Une loi de composition interne sur un ensemble $E$ est une application de $E^2$ dans $E$.
Une loi de composition interne est donc le terme mathématique pour décrire une opération sur un ensemble.

Exemples

Les opérations $+, \times$ définissent des lois de composition interne sur les ensembles de nombres usuels $(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C})$; la composition $\circ$ est une loi de composition interne sur $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$, l’ensemble des applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
Définissons quelques propriétés des lois de composition interne.

Définition

Soit $\star$ une loi de composition interne sur un ensemble $E$.
$\triangleright$ La loi $\star$ est commutative si
$$
\forall(x, y) \in E^2, \quad x \star y=y \star x .
$$
$\triangleright$ La loi $\star$ est associative si
$$
\forall(x, y, z) \in E^3, \quad x \star(y \star z)=(x \star y) \star z .
$$
$\triangleright$ La loi $\star$ admet un élément neutre si
$$
\exists e \in E, \quad \forall x \in E, \quad x \star e=e \star x=x .
$$
$\triangleright \mathrm{Si}$ la loi $\star$ admet l’élément neutre $e$, un élément $x \in E$ admet un symétrique (dans $E$ ) pour $\star \mathrm{si}$
$$
\exists y \in E, \quad x \star y=y \star x=e .
$$

Remarque

Toutes les lois ne sont pas commutatives : la composition des fonctions est un contre-exemple.
L’associativité indique qu’il n’y a pas d’ordre de priorité dans les calculs qui n’impliquent que $\star$ : on peut donc les mener dans l’ordre que l’on veut.
L’élément neutre, lorsqu’il existe, est unique. Il suffit de calculer $e \star e^{\prime}$ lorsque $e$ et $e^{\prime}$ sont des éléments neutres pour montrer que $e=e^{\prime}$ en utilisant tour à tour les propriétés d’élément neutre de chaque élément.
Lorsqu’une loi associative $\star$ admet un élément neutre $e$ et qu’un élément $x$ admet un symétrique, ce symétrique est unique. Soit $y$ et $y^{\prime}$ des symétriques de $x$; alors,
$$
y=y \star e=y \star\left(x \star y^{\prime}\right)=(y \star x) \star y^{\prime}=e \star y^{\prime}=y^{\prime} .
$$
En fait, nous utiliserons ces propriétés pour traiter de nombreuses situations simultanément : l’étude des ensembles munis d’une loi de composition interne, associative, ayant un élément neutre et telle que tout élément admette un symétrique se fera indépendamment de la nature des éléments (nombres, ensembles, applications, suites…). Cette riche idée d’abstraction sera développée avec l’introduction des structures algébriques.
On aura quelquefois besoin d’une propriété qui lie deux lois de composition interne.

Définition

Soit $E$ un ensemble muni de deux lois de composition interne $\diamond$ et $\star$. La loi $\star$ est distributive sur la loi $\diamond$ si
$$
\begin{array}{ll}
\forall(x, y, z) \in E^3, & x \star(y \diamond z)=(x \star y) \diamond(x \star z), \\
\forall(x, y, z) \in E^3, & (y \diamond z) \star x=(y \star x) \diamond(z \star x) .
\end{array}
$$
Par exemple, sur les ensembles de nombres usuels, la multiplication des nombres est distributive sur l’addition.