Bases mathématiques-Modes de raisonnement usuels- niveau MPSI

Bases mathématiques-Modes de raisonnement usuels- niveau MPSI

La notation en compréhension consiste à décrire notre ensemble comme une partie d’un ensemble plus grand formée des éléments vérifiant une ou plusieurs propriété(s). Par exemple, avec les écritures
$$
\begin{aligned}
& A=\{n \in \mathbb{N}, \exists k \in \mathbb{N}, n=2 k\}, \\
& B=\left\{x \in \mathbb{R}, \exists k \in \mathbb{Z}, x=10^k\right\} .
\end{aligned}
$$
L’ensemble $A$ contient exactement les entiers naturels $n$ tels qu’il existe un entier $k$ vérifiant $n=2 k ; B$ est l’ensemble des réels (en fait des rationnels) qui sont une puissance de 10. Dans cette notation, la virgule se lit «tel que» : $A$ est l’ensemble des entiers naturels $n$ tels qu’il existe un entier $k$ dont $n$ est le double. $\triangleright$ La notation en extension consiste à décrire notre ensemble par la liste de ses éléments (souvent paramétrés par d’autres variables). Par exemple, avec cette notation, les ensembles $A$ et $B$ précédents s’écrivent
$$
\begin{aligned}
& A=\{2 k, k \in \mathbb{N}\} \\
& B=\left\{10^k, k \in \mathbb{Z}\right\}
\end{aligned}
$$
La virgule ici se lit « $\operatorname{avec}$  » : $A$ est l’ensemble des éléments de la forme $2 k$ avec $k$ un entier naturel. Il ne faut pas confondre ces deux notations et bien identifier la nature des objets de l’ensemble.

Exemple

Soit $q$ un entier. L’ensemble des multiples de $q$ est noté $q \mathbb{Z}$; il est décrit des deux manières suivantes
$$
q \mathbb{Z}=\{k q, k \in \mathbb{Z}\}=\{n \in \mathbb{Z}, \exists k \in \mathbb{Z}, n=k q\} .
$$

On se pose maintenant la question de savoir comment démontrer l’implication «P $\Rightarrow Q »$ entre deux propositions $P$ et $Q$ et on passe en revue quelques méthodes courantes. Avant tout, précisons un point de langage.

Définition

Si « $P \Rightarrow Q »$, alors $P$ est une condition suffisante pour $Q$ ou de manière équivalente $Q$ est une condition nécessaire pour $P$.

Déduction

C’est la méthode naturelle : on part de l’hypothèse et on aboutit à la conclusion par une suite d’implications simples.

Exemple

Soit $n, k$ deux entiers. Montrons que si l’entier $n$ est un multiple de $k$ alors $n^2$ l’est également.
$$
\begin{aligned}
n \text { est un multiple de } k & \Rightarrow \exists p \in \mathbb{N}, \quad n=k p \\
& \Rightarrow \exists p \in \mathbb{N}, \quad n^2=k^2 p^2 \\
& \Rightarrow \exists p \in \mathbb{N}, \quad n^2=k\left(k p^2\right) \\
& \Rightarrow n^2 \text { est un multiple de } k .
\end{aligned}
$$
Remarquons ici la suite d’implications qui traduit les différentes étapes élémentaires de notre raisonnement.

Disjonction de cas

Pour montrer l’implication « $\left(P_1\right.$ ou $P_2$ ou $\ldots$ ou $\left.P_n\right) \Rightarrow Q »$, on montre successivement les différentes implications $« P_k \Rightarrow Q »$ pour chaque $k \in$ 〚$1$,$n$〛.

Exemple

Montrons que pour tout $n \in \mathbb{N}, n(n+1)(2 n+1)$ est une multiple de 3. Pour cela, on sépare en trois cas selon les valeurs possibles 0,1 ou 2 du reste $r$ de la division de $n$ par 3 .
$$
\begin{aligned}
r=0 & \Rightarrow \exists p \in \mathbb{N}, \quad n=3 . p \\
& \Rightarrow \exists p \in \mathbb{N}, \quad n(n+1)(2 n+1)=3 . p(n+1)(2 n+1) \\
& \Rightarrow n(n+1)(2 n+1) \text { est un multiple de } 3 . \\
r=1 & \Rightarrow \exists p \in \mathbb{N}, \quad n-1=3 . p \\
& \Rightarrow \exists p \in \mathbb{N}, \quad 2 n+1=3 .(2 p+1) \\
& \Rightarrow \exists p \in \mathbb{N}, \quad n(n+1)(2 n+1)=3 .(2 p+1) n(n+1) \\
& \Rightarrow n(n+1)(2 n+1) \text { est un multiple de } 3 . \\
r=2 & \Rightarrow \exists p \in \mathbb{N}, \quad n-2=3 . p \\
& \Rightarrow \exists p \in \mathbb{N}, \quad n+1=3 .(p+1) \\
& \Rightarrow \exists p \in \mathbb{N}, \quad n(n+1)(2 n+1)=3 . n(p+1)(2 n+1) \\
& \Rightarrow n(n+1)(2 n+1) \text { est un multiple de } 3 .
\end{aligned}
$$
On conclut par disjonction des cas que la propriété est vraie pour tout entier $n$.

Contraposition et raisonnement par l’absurde

L’idée de la contraposition est de remplacer l’implication  » $P \Rightarrow Q$  » par l’implication logiquement équivalente «non $-Q \Rightarrow$ non $-P »$. C’est souvent intéressant lorsque la négation d’une proposition est plus simple à manipuler que la proposition de départ.
L’idée du raisonnement par l’absurde consiste à montrer que l’on peut déduire une contradiction de l’hypothèse $P$ et non $-Q$.
Ces deux modes de raisonnement sont proches dans la rédaction d’une copie. Il convient de faire attention à ne pas les confondre.

Exemple

Montrons que si $p$ est un nombre premier alors $\sqrt{p}$ est un irrationnel. Par l’absurde,
$$
\begin{array}{rlrl}
\sqrt{p} \in \mathbb{Q} & \Rightarrow \exists a \in \mathbb{Z}, \quad \exists b \in \mathbb{N} \backslash\{0\}, & & \sqrt{p}=\frac{a}{b} \\
& \Rightarrow \exists a \in \mathbb{Z}, \quad \exists b \in \mathbb{N} \backslash\{0\}, & p=\frac{a^2}{b^2} \\
& \Rightarrow \exists a \in \mathbb{Z}, \quad \exists b \in \mathbb{N} \backslash\{0\}, & p b^{=}=a^2 .
\end{array}
$$
Les exposants de $p$ dans la décomposition en facteurs premiers de $a^2$ et de $b^2$ sont pairs donc les exposants de $p$ dans chacun des membres sont différents (pair d’un côté, impair de l’autre) : contradiction.

Exemple

Montrons par l’absurde qu’une suite convergente admet une unique limite. Heuristiquement, voici le raisonnement à partir de notre représentation graphique : supposons que la suite $\left(u_n\right)_n$ admette deux limites distinctes $\ell$ et $\ell^{\prime}$. Pour toute « bande  » autour de $\ell$ (respectivement autour de $\ell^{\prime}$ ), il existe un entier $N$ (respectivement $N^{\prime}$ ) à partir duquel les termes de la suite définissent des points dans cette bande autour de $\ell$ (respectivement autour de $\ell^{\prime}$ ). Ainsi, à partir d’un certain rang, les termes de la suite sont dans les deux bandes. Comme on peut choisir les deux bandes disjointes (car $\left.\ell \neq \ell^{\prime}\right)$, on obtient une contradiction.

Formalisons notre raisonnement.
Soit $\ell$ et $\ell^{\prime}$ deux réels distincts tels que
$$
\begin{array}{llll}
\forall \varepsilon>0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, & n \geq N & \Rightarrow\left|u_n-\ell\right| \leq \varepsilon, \\
\forall \varepsilon>0, & \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, & n \geq N & \Rightarrow \quad\left|u_n-\ell^{\prime}\right| \leq \varepsilon .
\end{array}
$$
Considérons $\varepsilon=\frac{1}{4}\left|\ell-\ell^{\prime}\right|$ (de sorte à avoir notamment $2 \varepsilon<\left|\ell-\ell^{\prime}\right|$ ).
D’après la première condition, on fixe $N$ tel que
$$
\forall n \in \mathbb{N}, \quad n \geq N \Rightarrow\left|u_n-\ell\right| \leq \varepsilon .
$$
D’après la deuxième condition, on fixe $N^{\prime}$ tel que
$$
\forall n \in \mathbb{N}, \quad n \geq N^{\prime} \Rightarrow\left|u_n-\ell^{\prime}\right| \leq \varepsilon .
$$
Donc, pour tout $n \geq \max \left(N, N^{\prime}\right)$, on a (la première inégalité s’appelle inégalité triangulaire)
$$
\left|\ell-\ell^{\prime}\right| \leq\left|u_n-\ell\right|+\left|u_n-\ell^{\prime}\right| \leq 2 \varepsilon \leq \frac{1}{2}\left|\ell-\ell^{\prime}\right| .
$$
D’où $\left|\ell-\ell^{\prime}\right|=0$ et donc $\ell=\ell^{\prime}$. On a donc montré l’unicité de la limite par l’absurde.