Bases mathématiques-L’ensemble des entiers naturels-Propriétés de Peano-MPSI

L’ensemble des entiers naturels

Propriétés de Peano

Bases mathématiques-L’ensemble des entiers naturels-Propriétés de Peano-MPSI

L’idée de cette partie n’est pas de définir $\mathbb{N}$ (ce qui relève de la théorie générale des ensembles et qui est délicat) mais de montrer quelles propriétés seront utiles. Voilà les propriétés que nous admettrons.

Proposition

L’ensemble $\mathbb{N}$ des entiers est un ensemble non vide ordonné tel que :
– toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un plus petit élément;
– toute partie non vide majorée admet un plus grand élément;
– $\mathbb{N}$ n’admet pas de plus grand élément.

Remarque

En fait, on peut montrer que si $A$ est un ensemble vérifiant ces propriétés, alors il existe une bijection croissante de $A$ vers $\mathbb{N}$.

D’après ces propriétés, il est évident que $\mathbb{N}$ est alors totalement ordonné (car un ensemble à deux éléments admet un plus petit élément), que $\mathbb{N}$ admet un plus petit élément (car c’est une partie non vide de $\mathbb{N}$ ) que l’on note 0 .
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on définit $n+1$ comme le plus petit élément strictement supérieur à $n$ : ceci est possible car
– $n$ n’est pas le plus grand élément de $\mathbb{N}$ donc il existe un élément strictement plus grand;
– l’ensemble des éléments strictement plus grands que $n$ est non vide donc admet un plus petit élément.
De même, on définit $n-1$ pour tout élément $n \in \mathbb{N}$ différent de $0$ .