Bases mathématiques-Opérations-entre-ensembles-Intersection et réunion-MPSI
Bases mathématiques-Opérations-entre-ensembles-Intersection et réunion-MPSI
Intersection et réunion
Définition
Bases mathématiques-Opérations-entre-ensembles-Intersection et réunion-MPSI
Soit $F$ et $G$ deux parties d’un ensemble $E$.
L’intersection de $F$ et $G$ est la partie de $E$, notée $F \cap G$, formée des éléments communs à $F$ et $G$, c’est-à-dire la partie définie par
$$
\forall x \in E, \quad x \in F \cap G \quad \Leftrightarrow \quad(x \in F \text { et } x \in G) .
$$
Sur la figure ci-dessous, l’intersection de $F$ et $G$ correspond à la zone grisée.
La réunion de $F$ et $G$ est la partie de $E$, notée $F \cup G$, formée des éléments appartenant à $F$ ou à $G$, c’est-à-dire la partie définie par
$$
\forall x \in E, \quad x \in F \cup G \quad \Leftrightarrow \quad(x \in F \text { ou } x \in G) .
$$
Sur la figure ci-dessous, la réunion de $F$ et $G$ correspond à la zone grisée.
On vérifie que $F \cup G$ contient $F$ et $G$, alors que $F \cap G$ est contenue dans $F$ et $G$.
Exemple
Déterminons les parties $F$ et $G$ d’un ensemble $E$ telles que $F \cap G=F \cup G$. On remarque que
$$
F \subset F \cup G=F \cap G \subset G .
$$
Par symétrie, $G \subset F$ et donc, par double-inclusion, $F=G$.
Proposition
Les opérations $U$ et $\cap$ sont des lois de composition interne commutatives et associatives de $\mathscr{P}(E)$, d’éléments neutres $\varnothing$ et $E$ respectivement.
L’associativité permet de définir les intersections et les réunions d’un nombre quelconque d’ensembles et on observe les propriétés de distributivité.
Proposition
Soit $F$ une partie de $E$ et $\left(F_i\right)_{i \in I}$ une famille de parties de $E$. Alors
$$
F \cap\left(\cup_{i \in I} F_i\right)=\cup_{i \in I}\left(F \cap F_i\right), \quad F \cup\left(\bigcap_{i \in I} F_i\right)=\bigcap_{i \in I}\left(F \cup F_i\right) .
$$
On a évidemment, d’après la commutativité, les mêmes propriétés de distributivité à gauche.
Démonstration
Montrons la première égalité par double inclusion. La seconde se montre de manière analogue.
($\subset$) Soit $x \in F \cap\left(\bigcup_{i \in I} F_i\right)$. Comme $x \in \cup_{i \in I} F_i$, il existe $i \in I$ tel que $x \in F_i$. Ainsi, $x \in F \cap F_i \subset \bigcup_{i \in I}\left(F \cap F_i\right)$.
($\supset$) Soit $x \in \cup_{i \in I}\left(F \cap F_i\right)$. Par définition, il existe $i \in I$ tel que $x \in F \cap F_i \subset F_i$ donc $x \in\left(\cup_{i \in I} F_i\right)$.
En conclusion, $x \in F \cap\left(\bigcup_{i \in I} F_i\right)$.
