Bases mathématiques-Opérations-entre-ensembles-Partitions-MPSI
Bases mathématiques,Opérations entre ensembles,Fonctions indicatrices,MPSI
Mathématiques MPSI
Fonctions indicatrices
Définition
Bases mathématiques,Opérations entre ensembles,Fonctions indicatrices,MPSI
La fonction indicatrice d’une partie $F$ de $E$ est l’application $\mathbb{1}_F: E \rightarrow\{0,1\}$ définie, pour tout $x \in E$, par
$$
\mathbb{1}_F(x)= \begin{cases}1 & \text { si } x \in F \\ 0 & \text { sinon. }\end{cases}
$$
Exemple
Les fonctions indicatrices de $E$ et de $\varnothing$ sont respectivement les fonctions constantes sur $E$ et égales à 1 et à 0 respectivement.
On vérifie immédiatement avec cette définition que $F=\left\{x \in E, \mathbb{1}_F(x)=1\right\}$. On en déduit que deux parties ayant la même fonction indicatrice sont égales.
Conseils méthodologiques
Pour montrer une égalité entre ensembles, il suffit de montrer l’égalité des fonctions indicatrices.
Proposition
Soit $F$ et $G$ des parties de $E$. Alors,
$$
\mathbb{1}_{\bar{F}}=1-\mathbb{1}_F, \quad \mathbb{1}_{F \cap G}=\mathbb{1}_F \mathbb{1}_G, \quad \mathbb{1}_{F \cup G}=\mathbb{1}_F+\mathbb{1}_G-\mathbb{1}_F \mathbb{1}_G .
$$
Démonstration
Pour tout $x \in E$,
$$
\begin{aligned}
x \in \bar{F} & \Leftrightarrow x \notin F \\
& \Leftrightarrow \mathbb{1}_F(x)=0 \\
& \Leftrightarrow\left(1-\mathbb{1}_F\right)(x)=1 .
\end{aligned}
$$
Ainsi, $\mathbb{1}_{\bar{F}}=1-\mathbb{1}_F$.
Pour tout $x \in E$,
$$
\begin{aligned}
x \in F \cap G & \Leftrightarrow x \in F \text { et } x \in G \\
& \Leftrightarrow \mathbb{1}_F(x)=1 \text { et } \mathbb{1}_G(x)=1 \\
& \Leftrightarrow\left(\mathbb{1}_F \mathbb{1}_G\right)(x)=1 .
\end{aligned}
$$
Ainsi, $\mathbb{1}_{F \cap G}=\mathbb{1}_F \mathbb{1}_G$.
Démonstration
Pour tout $x \in E$,
$$
\begin{aligned}
x \in \bar{F} & \Leftrightarrow x \notin F \\
& \Leftrightarrow \mathbb{1}_F(x)=0 \\
& \Leftrightarrow\left(1-\mathbb{1}_F\right)(x)=1 .
\end{aligned}
$$
Ainsi, $\mathbb{1}_{\bar{F}}=1-\mathbb{1}_F$.
Pour tout $x \in E$,
$$
\begin{aligned}
x \in F \cap G & \Leftrightarrow x \in F \text { et } x \in G \\
& \Leftrightarrow \mathbb{1}_F(x)=1 \text { et } \mathbb{1}_G(x)=1 \\
& \Leftrightarrow\left(\mathbb{1}_F \mathbb{1}_G\right)(x)=1 .
\end{aligned}
$$
Ainsi, $\mathbb{1}_{F \cap G}=\mathbb{1}_F \mathbb{1}_G$.
Pour tout $x \in E$,
$$
\begin{aligned}
x \in F \cup G & \Leftrightarrow x \in F \text { ou } x \in G \\
& \Leftrightarrow \mathbb{1}_F(x)=1 \text { ou } \mathbb{1}_G(x)=1 \\
& \Leftrightarrow\left(\mathbb{1}_F+\mathbb{1}_G-\mathbb{1}_F \mathbb{1}_G\right)(x)=1
\end{aligned}
$$
Ainsi, $\mathbb{1}_{F \cup G}=\mathbb{1}_F+\mathbb{1}_G-\mathbb{1}_F \mathbb{1}_G$.
Proposition
Lois de De Morgan
Soit $F$ et $G$ deux parties de $E$.
$$
\overline{F \cap G}=\bar{F} \cup \bar{G}, \quad \overline{F \cup G}=\bar{F} \cap \bar{G} .
$$
Démonstration
Les deux égalités sont équivalentes en utilisant que le complémentaire du complémentaire d’une partie est égal à la partie. Il suffit d’en établir une, ce que nous allons faire en comparant les fonctions caractéristiques.
$$
\mathbb{1}_{\overline{F \cap G}}=1-\mathbb{1}_{F \cap G}=1-\mathbb{1}_F \mathbb{1}_G=1-\left(1-\mathbb{1}_{\bar{F}}\right)\left(1-\mathbb{1}_{\bar{G}}\right)=\mathbb{1}_{\bar{F}}+\mathbb{1}_{\bar{G}}-\mathbb{1}_{\bar{F}} \mathbb{1}_{\bar{G}}=\mathbb{1}_{\bar{F} \cup \bar{G}} .
$$
