Bases mathématiques-FICHE SYNTHÈSE-MPSI
Bases mathématiques-FICHE SYNTHÈSE-MPSI chapitre un
FICHE SYNTHÈSE
Chapitre UN
Bases mathématiques-FICHE SYNTHÈSE-MPSI
FICHE SYNTHÈSE
L’inclusion entre parties $A \subset B$ se prouve en montrant que tout élément de $A$ appartient à $B$. Une égalité correspond à une double inclusion.
Les opérations ensemblistes $\cup, \cap$ et complémentaire fonctionnent comme le ou, le et et le non du langage courant. Il est important de se souvenir des règles de manipulations suivantes.
Propriétés des opérations entre ensembles
Soit $E$ un ensemble, $A, B$ et $C \subset E$. Alors,
– $A \cup(B \cup C)=(A \cup B) \cup C$
– $A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$
– $A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C$
– $\overline{A \cup B}=\underline{\bar{A}} \cap \underline{\bar{B}}$
– $A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$
– $\overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}$
Ces exemples permettent de mettre en évidence les propriétés générales des lois de composition internes (c’est-à-dire des opérations).
Lois de composition internes
Soit $\star$ une loi de composition interne à l’ensemble $E$. $\triangleright \star$ est associative si
$$
\forall x, y, z \in E, \quad x \star(y \star z)=(x \star y) \star z .
$$
$ \star$ admet $e \in E$ comme élément neutre
$$
\forall x \in E, \quad x \star e=e \star x=x .
$$
Quand il existe, l’élément neutre est unique.
Si $e \in E$ est un élément neutre de $\star$, les éléments $x \in E$ et $y \in E$ sont symétriques pour $\star \mathrm{si}$
$$
x \star y=y \star x=e .
$$
Pour les applications, on discute de propriétés selon le nombre d’antécédents des éléments del’ensemble d’arrivée.
Injection, surjection, bijection
Soit $f: E \rightarrow F$ une application.
$ f$ est surjective si tout élément de $F$ admet au moins un antécédent par $f$ dans $E$.
$ f$ est injective si tout élément de $F$ admet au plus un antécédent par $f$ dans $E$.
$ f$ est bijective si tout élément de $F$ admet exactement un antécédent par $f$ dans $E$. Cette propriété équivaut à l’inversibilité de $f$.
La composée de deux fonctions bijectives est une fonction bijective.
On peut s’intéresser aux images et antécédents pour une fonction ne possédant pas ces propriétés. On introduit alors les parties suivantes.
Image directe et image réciproque
Soit $f: E \rightarrow F$ une application.
L’image directe par $f$ d’une partie $A \subset E$ est l’ensemble des images des éléments de $A$ par $f$. On la note $f(A)$.
L’image réciproque par $f$ d’une partie $B \subset F$ est l’ensemble des antécédents des éléments de $B$ par $f$. On la note $f^{-1}(B)$ (et ceci est cohérent avec le cas où $f$ est bijective).
Généralisant les relations de congruence sur les entiers, on obtient le concept suivant pour les relations d’équivalence.
Relation d’équivalence
Une relation d’équivalence sur $E$ est une relation binaire réflexive, symétrique et transitive.
L’ensemble des éléments équivalent à un élément donné est appelé classe d’équivalence de cet élément. Les classes d’équivalence forment une partition de $E$.
Généralisant la relation $\leq$ sur $\mathbb{R}$, on obtient le concept suivant pour les relations d’ordre.
Relation d’équivalence
Une relation d’équivalence sur $E$ est une relation binaire réflexive, symétrique et transitive.
L’ensemble des éléments équivalent à un élément donné est appelé classe d’équivalence de cet élément. Les classes d’équivalence forment une partition de $E$.
Généralisant la relation $\leq$ sur $\mathbb{R}$, on obtient le concept suivant pour les relations d’ordre.
Relation d’ordre
Une relation d’ordre sur $E$ est une relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive.
La borne supérieure d’une partie $A \subset E$ est, quand il existe, le plus petit des majorants de $A$. On le note $\sup A$.
Le plus grand élément d’une partie $A \subset E$ est, lorsqu’il existe un élément de la partie qui est un majorant. On le note $\max A$. Un plus grand élément de $A$ est nécessairement la borne supérieure de $A$.
EXERCICES
