Bases mathématiques-Opérations entre ensembles-Ensembles ordonnés-Relation d’ordre-Plus petit élément-minorant-MPSI

Bases mathématiques Ensembles ordonnés Relation d’ordre Plus petit élément minorant MPSI

Plus petit élément, minorant

Définition

Soit $(E, \prec)$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E$.
$\triangleright$ Un majorant de $A$ est un élément $m \in E$ tel que
$$
\forall x \in A, \quad x \prec m .
$$
$\triangleright$ Un minorant de $A$ est un élément $m \in E$ tel que
$$
\forall x \in A, \quad m \prec x .
$$
$\triangleright \mathrm{Si} A$ admet un majorant (respectivement un minorant), alors $A$ est majorée (respectivement minorée). Si $A$ est majorée et minorée, alors $A$ est bornée.

Exemples

$\triangleright$ La partie $]-\infty, \pi]$ est majorée par 4 ou 1789 mais aussi par $\pi$; en revanche, elle n’est pas minorée.
$\triangleright$ La partie $\left\{1,2,4,10^{100}\right\}$ est bornée.
$\triangleright$ L’ensemble $\mathbb{Z}$ n’est ni majoré, ni minoré.
$\triangleright$ Toutes les parties de $\mathscr{P}(E)$ sont bornées pour l’inclusion (minorées par $\varnothing$, majorées par $E$ ).

Définition

Soit $(E, \prec)$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E$.
$\triangleright$ Un élément $m \in A$ est un plus grand élément de $A$ si
$$
\forall x \in A, \quad x \prec m .
$$
Autrement dit, un plus grand élément de $A$ est un majorant appartenant à $A$.
$\triangleright$ Un élément $m \in A$ est un plus petit élément de $A$ si
$$
\forall x \in A, \quad m \prec x .
$$
Autrement dit, un plus petit élément de $A$ est un minorant appartenant à $A$.

Remarque

Les plus petits éléments et plus grands éléments n’existent pas forcément. Par exemple, l’ensemble ]0, 1[ (muni de la relation $\leq$ ) n’admet ni plus grand ni plus petit éléments.
Supposons que $a$ est un plus petit élément de $] 0,1\left[\right.$; alors $\frac{a}{2}$ est un élément de $] 0,1$ [ strictement plus petit que $a$ : contradiction.
De même, supposons que $a$ est un plus grand élément de $] 0,1\left[;\right.$ alors $\frac{1+a}{2}$ est un élément de $] 0,1[$ strictement plus grand que $a$ : contradiction.

Proposition

Quand ils existent, les plus grands et plus petits éléments d’une partie $A$ sont uniques. On les note respectivement $\max A$ et $\min A$.

Démonstration

Supposons qu’il existe $m$ et $m^{\prime}$ deux plus grands éléments. Alors, comme $m^{\prime}$ est un plus grand élément, $m \prec m^{\prime}$; de même, $m^{\prime} \prec m$ puis, par antisymétrie de $\prec, m=m^{\prime}$.
Proposition 1,35.
Soit $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble ordonné $(E, \prec)$ admettant un plus grand élément telles que $A \subset B$. Alors, $\max A \prec \max B$.

Démonstration

Par définition du plus grand élément de $B$,
$$
\forall x \in B, \quad x \prec \max B .
$$
Or, $\max A \in B$ donc $\max A \prec \max B$.