Bases mathématiques-Ensembles ordonnés-Relation d’ordre-Borne supérieure-borne inférieure-MPSI
Borne supérieure, borne inférieure
Bases mathématiques Ensembles ordonnés Relation d’ordre Borne supérieure borne inférieure MPSI
Définition
Soit $A$ un partie d’un ensemble ordonné $(E, \prec)$.Si $A$ est majorée, la borne supérieure de $A$ est, lorsqu’elle existe, le plus petit majorant de $A$. On la note $\sup A$.
Si $A$ est minorée, la borne inférieure de $A$ est, lorsqu’elle existe, le plus grand minorant de $A$. On la note $\inf A$.
On remarque que contrairement à $\max A$ et $\min A, \sup A$ et $\inf A$ ne sont a priori pas des éléments de $A$. En fait, les bornes supérieure et inférieure appartiennent à l’ensemble si, et seulement si, elles coïncident avec les plus grand et plus petit éléments.
Exemples
Avec $A=\left\{x \in \mathbb{Q}, x^2<2\right\}$, la borne supérieure dans $\mathbb{R}$ est $\sup A=\sqrt{2} \notin A$. Il n’y a pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$.
Avec $B=\left\{x \in \mathbb{Z}, x^2<2\right\}$, la borne supérieure dans $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$ est $\sup B=1 \in B$.
Proposition 1,37.
Soit $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble ordonné $(E, \prec)$ admettant une borne supérieure telles que $A \subset B$. Alors, $\sup A \prec \sup B$.
Démonstration
Par définition de la borne supérieure de $B$,
$$
\forall x \in B, \quad x \prec \sup B .
$$
Ainsi, comme $A \subset B$, les éléments de $A$ appartiennent à $B$ donc
$$
\forall x \in A, \quad x \prec \sup B .
$$
Par conséquent, $\sup B$ est un majorant de $A$ donc plus grand que le plus petit des majorants $\sup A$.
