Bases mathématiques-Ensembles ordonnés-Relation d’ordre-Applications croissantes-MPSI

Bases mathématiques Applications croissantes MPSI

Applications croissantes

Définition

Soit $f:\left(E, \prec_E\right) \rightarrow\left(F, \prec_F\right)$ une application entre deux ensembles ordonnés.

L’application $f$ est croissante si
$$
\forall x, y \in E, \quad x \prec_E y \Rightarrow f(x) \prec_F f(y) .
$$
L’application $f$ est strictement croissante si
$$
\forall x, y \in E, \quad x \prec_E y \text { et } x \neq y \Rightarrow f(x) \prec_F f(y) \text { et } f(x) \neq f(y) .
$$
On définit de même les propriétés de décroissance et de décroissance stricte.

Exemple

Soit $E$ un ensemble et $A$ une partie non vide de $E$. L’application
$$
f:\left\{\begin{array}{clc}
\mathscr{P}(E) & \rightarrow & \mathscr{P}(E) \\
X & \mapsto X \cup A
\end{array}\right.
$$
est croissante mais pas strictement croissante (car $f(\varnothing)=f(A)$ alors que $\varnothing \varsubsetneqq A$ ).

Proposition

Soit $f:\left(E, \prec_E\right) \rightarrow\left(F, \prec_F\right)$ où $\prec_E$ est un ordre total. Si $f$ est strictement croissante, alors $f$ est injective.

Démonstration

Supposons, par l’absurde, qu’il existe $x \neq y$ tels que $f(x)=f(y)$.
Si $x \prec_E y$, alors, par croissance stricte de $f, f(x) \prec_E f(y)$ et $f(x) \neq f(y)$ ce qui contredit l’hypothèse $f(x)=f(y)$
On procède de même pour le cas $y \prec_E x$.