Bases mathématiques-Écriture avec quantificateurs- niveau MPSI
Écriture avec quantificateurs
Bases mathématiques-Écriture avec quantificateurs- niveau MPSI
Il y a deux symboles mathématiques, appelés quantificateurs, pour écrire définitions et affirmations en mode mathématique.
– Le quantificateur universel $\forall$ signifie « quel que soit» ou « pour tout».
– Le quantificateur existentiel $\exists$ signifie «il existe».
Ces quantificateurs servent à introduire (au sens de définir) les variables que l’on va manipuler pour la suite.
À titre d’exemples, réécrivons les définitions de la section précédente.
Définition
Soit deux entiers $n$ et $p$. L’entier $n$ est un multiple de $p$ si
$$
\exists k \in \mathbb{Z}, \quad n=k p .
$$
Définition
Une suite réelle $\left(u_n\right)_n$ admet le réel $\ell$ pour limite si
$$
\forall \varepsilon>0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad n \geq N \Rightarrow\left|u_n-\ell\right| \leq \varepsilon .
$$
Une suite réelle $\left(u_n\right)_n$ est convergente si
$$
\exists \ell \in \mathbb{R}, \quad \forall \varepsilon>0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad n \geq N \Rightarrow\left|u_n-\ell\right| \leq \varepsilon .
$$
Dans cette écriture quantifiée, on a utilisé le symbole $\Rightarrow$ pour l’implication. On lit donc que si $n$ est plus grand que $N$, alors on a $\left|u_n-\ell\right| \leq \varepsilon$.
Attention, les quantificateurs apparaissent dans les phrases mathématiques mais pas dans les phrases » de texte». Ils sont placés avant le corps de l’affirmation (en particulier, jamais en fin de phrase)!
Conseils méthodologiques
L’ordre des quantificateurs est essentiel : on ne peut intervertir, sans justification précise, que deux quantificateurs de même nature (deux universels ou deux existentiels).
Dit autrement, toute variable définie par un quantificateur $\exists$ dépend a priori de toutes les variables définies auparavant.
Exemple
Une seule des deux phrases suivantes est correcte.
$$
\begin{array}{lll}
\forall x \in \mathbb{R}, \quad \exists y \in \mathbb{R}_{+}, & y=x^2 . \\
\exists y \in \mathbb{R}_{+}, \quad \forall x \in \mathbb{R}, & y=x^2 .
\end{array}
$$
La première indique l’existence du carré d’un réel; la seconde signifie qu’il existe un réel positif qui est le carré de tous les réels ce qui est faux puisque 0 et 1 , par exemple, admettent des carrés différents.
Conseils méthodologiques
Pour nier une phrase avec quantificateurs, il faut appliquer les deux étapes suivantes :
– on remplace tout quantificateur existentiel par un quantificateur universel et réciproquement (sans en changer l’ordre);
– on nie la conclusion.
Ceci est déjà l’usage dans le langage courant; la négation de l’affirmation « tous les élèves sont bruns» est «il existe un élève non brun».
Exemple
Avec les deux définitions initiales, on obtient l’écriture des négations.
L’entier $n$ n’est pas un multiple de $p$ si
$$
\forall q \in \mathbb{N}, \quad n \neq q . p,
$$
La suite réelle $\left(u_n\right)_n \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ n’est pas convergente si
$$
\forall \ell \in \mathbb{R}, \quad \exists \varepsilon>0, \quad \forall N \in \mathbb{N}, \quad \exists n \in \mathbb{N}, \quad n \geq N \quad \text { et } \quad\left|u_n-\ell\right|>\varepsilon .
$$
On remarque que l’on n’a utilisé que la négation de l’implication « $P \Rightarrow Q »$ est « $P$ et non $-Q »$.
Écriture d’ensembles
Il est facile de noter et donc de manipuler un ensemble lorsque l’on dispose d’une notation pour celui-ci. Par exemple, on dispose des notations suivantes :
– $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ respectivement pour les ensembles des nombres entiers naturels, entiers relatifs, rationnels, réels et complexes.
– $[a, b]$ (respectivement $[a, b[$ l l’intervalle formé des réels supérieurs ou égaux à $a$ et inférieurs ou égaux (respectivement strictement inférieurs) à $b$.
– « 〚$a$,$b$〛 l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $a$ et inférieurs ou égaux à $b$. On note quelquefois $\mathbb{N}_n$ l’intervalle d’entiers 〚$1$,$n$〛.
– $B^A$ pour l’ensemble des applications de $A$ dans $B$; par exemple, $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ désigne l’ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ l’ensemble des fonctions de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ c’est-à-dire des suites réelles.
– $\mathbb{R}[X]$ l’ensemble des polynômes à coefficients réels.
Tout au long du cours, on introduira de nouvelles notations pour les ensembles particulièrement remarquables ou fréquemment utilisés. Toutefois, certains ensembles sont d’usage trop rare pour mériter une notation standardisée et il faut alors recourir à une notation plus explicite. Il en existe deux qu’il convient de savoir lire.
La notation en compréhension consiste à décrire notre ensemble comme une partie d’un ensemble plus grand formée des éléments vérifiant une ou plusieurs propriété(s). Par exemple, avec les écritures
$$
\begin{aligned}
& A=\{n \in \mathbb{N}, \exists k \in \mathbb{N}, n=2 k\}, \\
& B=\left\{x \in \mathbb{R}, \exists k \in \mathbb{Z}, x=10^k\right\} .
\end{aligned}
$$
L’ensemble $A$ contient exactement les entiers naturels $n$ tels qu’il existe un entier $k$ vérifiant $n=2 k ; B$ est l’ensemble des réels (en fait des rationnels) qui sont une puissance de 10. Dans cette notation, la virgule se lit «tel que» : $A$ est l’ensemble des entiers naturels $n$ tels qu’il existe un entier $k$ dont $n$ est le double.
La notation en extension consiste à décrire notre ensemble par la liste de ses éléments (souvent paramétrés par d’autres variables). Par exemple, avec cette notation, les ensembles $A$ et $B$ précédents s’écrivent
$$
\begin{aligned}
& A=\{2 k, k \in \mathbb{N}\} \\
& B=\left\{10^k, k \in \mathbb{Z}\right\}
\end{aligned}
$$
La virgule ici se lit « $\operatorname{avec}$ » : $A$ est l’ensemble des éléments de la forme $2 k$ avec $k$ un entier naturel. Il ne faut pas confondre ces deux notations et bien identifier la nature des objets de l’ensemble.
Exemple
Soit $q$ un entier. L’ensemble des multiples de $q$ est noté $q \mathbb{Z}$; il est décrit des deux manières suivantes
$$
q \mathbb{Z}=\{k q, k \in \mathbb{Z}\}=\{n \in \mathbb{Z}, \exists k \in \mathbb{Z}, n=k q\} .
$$
