Bases mathématiques-Ensembles et applications-Image, image réciproque-MPSI
Injection, surjection, bijection
Définition
Bases mathématiques-Ensembles et applications-Image, image réciproque-MPSI
Une application $f: E \rightarrow F$ est injective si tout élément $y \in F$ a au plus un antécédent $x \in E$
$$
\forall\left(x, x^{\prime}\right) \in E^2, \quad f(x)=f\left(x^{\prime}\right) \Rightarrow x=x^{\prime} .
$$
Une application $f: E \rightarrow F$ est surjective si tout élément $y \in F$ a au moins un antécédent $x \in E$
$$
\forall y \in F, \quad \exists x \in E, \quad f(x)=y,
$$
ou de manière équivalente $f(E)=F$.
Une application $f: E \rightarrow F$ est bijective si tout élément $y \in F$ a exactement un antécédent $x \in E$. En d’autres termes, $f$ est bijective si, et seulement si, $f$ est injective et surjective.
Conseils méthodologiques
Les définitions d’injectivité et de surjectivité donnent en même temps le moyen de montrer ces propriétés.
– Pour démontrer la surjectivité, on cherche si l’équation $y=f(x)$ admet une solution $x$.
– Pour l’injectivité, on étudie l’équation $f(x)=f\left(x^{\prime}\right)$ et, dans le cas d’une application injective, on doit en déduire $x=x^{\prime}$.
Exemple
Les caractères injectifs, surjectifs et donc bijectifs dépendent des ensembles de départ et d’arrivée:
– $f:\left\{\begin{array}{rll}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x^2\end{array} \quad\right.$ n’est ni injective, ni surjective.
– $g:\left\{\begin{aligned} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_{+} \\ x & \mapsto & x^2\end{aligned}\right.$ est surjective mais pas injective.
– $h:\left\{\begin{array}{ccc}\mathbb{R}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x^2\end{array}\right.$ est injective mais pas surjective.
L’application $h$ est la restriction de $f$ à $\mathbb{R}_{+}$ou, de manière équivalente, $f$ est un prolongement de $h$ à $\mathbb{R}$.
Exemple
Soit $E$ un ensemble et $A$ une partie non vide de $E$. L’application
$$
f:\left\{\begin{array}{ccc}
\mathscr{P}(E) & \rightarrow & \mathscr{P}(E) \\
X & \mapsto & X \cup A
\end{array}\right.
$$
n’est pas injective car $f(\varnothing)=f(A)$; elle n’est pas surjective car il n’existe pas de parties $X$ telles que $f(X)=\varnothing$. En effet, pour tout $X \in \mathscr{P}(E), A \subset f(X)$.
Exemple
L’application $(p, q) \mapsto(2 p+1) 2^q$ réalise une bijection de $\mathbb{N}^2$ dans $\mathbb{N} \backslash\{0\}$. En effet, tout entier $n \in \mathbb{N} \backslash\{0\}$ admet une décomposition en facteurs premiers uniques : en isolant le facteur 2 et en rassemblant les facteurs premiers impairs, on obtient l’existence et l’unicité de l’écriture de $n$ comme $(2 p+1) 2^q$ donc l’existence et l’unicité de l’antécédent de $n$ par $f$.
Définition
Une application $f: E \rightarrow F$ est inversible s’il existe une application $g: F \rightarrow E$ qui satisfait à la fois $f \circ g=I d_F$, et $g \circ f=I d_E$. Cette application $g$ est appelée inverse de $f$.
On relie cette définition aux précédentes par la proposition suivante.
Proposition
Une application est bijective si, et seulement si, elle est inversible. L’inverse d’une application $f$ bijective est appelé bijection réciproque de $f$ et noté $f^{-1}$.
Démonstration
Soit une application $f: E \rightarrow F$.
$\Leftrightarrow$ Supposons $f$ bijective. Considérons l’application $g: F \rightarrow E$ qui associe à un élément de $F$ son unique antécédent par $f$. Alors, pour tout $x \in E, g(f(x))$ est l’unique antécédent de $f(x)$ donc est égal à $x$. De même, pour tout $y \in F, f(g(y))$ est l’image de l’antécédent de $y$ donc est égal à $y$.
Par conséquent, $f \circ g=\operatorname{Id}_F$ et $g \circ f=\operatorname{Id}_E$.
$(\Leftarrow)$ Supposons $f$ inversible d’inverse noté $g$. Pour tout $y \in F$, la condition $y=f(x)$ entraîne
$$
g(y)=g(f(x))=x
$$
donc le seul antécédent de $y$ est $g(y)$. En conclusion, tout élément de $F$ admet un unique antécédent par $f: f: E \rightarrow F$ est bijective.
Remarque
Il convient de ne pas confondre $f^{-1}(\{y\})$ l’ensemble des antécédents de $y$ (qui est toujours défini) et $f^{-1}(y)$ l’élément image de $y$ par la bijection réciproque (qui n’est définie que si $f$ est bijective).
Proposition
La composée de deux applications injectives (respectivement surjectives, bijectives) est injective (respectivement surjective, bijective).
Démonstration
$\triangleright$ Soit $f: E \rightarrow F$ et $g: F \rightarrow G$ deux applications injectives. Pour tout $x, x^{\prime} \in E, g(f(x))=g\left(f\left(x^{\prime}\right)\right)$ implique $f(x)=f\left(x^{\prime}\right)$ par injectivité de $g$ puis $x=x^{\prime}$ par injectivité de $f$.
$\triangleright$ Soit $f: E \rightarrow F$ et $g: F \rightarrow G$ deux applications surjectives. Pour tout $y \in G$, il existe $z \in F$ tel que $g(z)=y$ car $g$ est surjective. Ce $z$ étant fixé, il existe $x \in E$ tel que $f(x)=z$ car $f$ est surjective.
Par conséquent, il existe $x \in E$ tel que $g(f(x))=y$.
