Bases mathématiques-Ensembles et applications-Image, image réciproque-MPSI
Image, image réciproque
Définition
-Bases mathématiques-Ensembles et applications-Image, image réciproque-MPSI
Soit $f: E \rightarrow F$ une application.
L’image d’un élément $x \in E$ est l’élément $f(x) \in F$.
L’image (directe) d’une partie $E^{\prime} \subset E$ est la partie de $F$ définie par
$$
f\left(E^{\prime}\right)=\left\{f(x), x \in E^{\prime}\right\},
$$
c’est-à-dire l’ensemble des images des éléments de $E^{\prime}$.
Exemple
Soit $f:\left\{\begin{array}{lll}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x^2\end{array}\right.$. Alors, on obtient
– $f(0)=0$
– $f([0,1])=[0,1]$
– $f([-1,1])=[0,1]$
Définition
Soit $f: E \rightarrow F$ une application.
Un antécédent d’un élément $y \in F$ est un élément $x \in E$ tel que $f(x)=y$.
L’image réciproque d’une partie $F^{\prime} \subset F$ est la partie de $E$ définie par
$$
f^{-1}\left(F^{\prime}\right)=\left\{x \in E, f(x) \in F^{\prime}\right\},
$$
c’est-à-dire l’ensemble de tous les antécédents des éléments de $F^{\prime}$.
Remarque
L’ensemble des antécédents d’un élément $y \in F$ est par définition $f^{-1}(\{y\})$. Il peut être vide, réduit à un élément, ou beaucoup plus rempli!
Poursuivons l’exemple précédent.
Exemple
Soit $f:\left\{\begin{array}{rll}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x^2\end{array}\right.$. Alors, on calcule les résultats suivants
– $f^{-1}\left(\mathbb{R}_{+}\right)=\mathbb{R}$
– $f^{-1}(\{0\})=\{0\}$
– $f^{-1}([0,4])=[-2,2]$
– $f^{-1}(\mathbb{R})=\mathbb{R}$
– $f^{-1}(\{1\})=\{-1,1\}$
Remarque
Il faut faire attention à ne pas «simplifier» abusivement les expressions avec images directes et réciproques.
On dispose des relations suivantes pour une application $f: E \rightarrow F$ :
$$
\forall A \in \mathscr{P}(E), \quad f^{-1}(f(A)) \supset A, \quad \forall B \in \mathscr{P}(F), \quad f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B .
$$
En effet, tout élément de $A$ est un antécédent de son image et tout élément de $B$ est l’image d’un de ses antécédents.
En revanche, les inclusions réciproques sont généralement fausses. Par exemple, avec l’application $f$ de l’exemple précédent, on vérifie que
$$
f\left(f^{-1}([-1,1])\right)=[0,1] \text {, et } f^{-1}(f([0,1]))=[-1,1] .
$$
